Всего: 32 1–20 | 21–32
Добавить в вариант
В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что четыре вершины куба лежат на основании пирамиды, а противоположные им вершины принадлежат боковым ребрам пирамиды. Найдите ребро куба, если высота пирамиды равна 
см, а сторона основания пирамиды равна 
см.
Из подобия треугольников PKM и PAC следует, что 
аналогично 
Из условия 
следовательно, 
Подставим данные в отношения, полученные из подобия, и найдем a:
В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что четыре вершины куба лежат на основании пирамиды, а противоположные им вершины принадлежат боковым ребрам пирамиды. Найдите ребро куба, если высота пирамиды равна см, а сторона основания пирамиды равна 
см.
аналогично 
Из условия 
следовательно, 
Подставим данные в отношения, полученные из подобия, и найдем a:
Найдите объем данной пирамиды, если ее апофема равна 
в нашем случае
Найдите объем данной пирамиды, если радиус окружности, описанной около ее основания, равен 
SA = 3, AB = 4. Тогда SB = 5. Найдем площадь треугольника SAB: 
Найдем площадь треугольника SBC: 
Найдем площадь полной поверхности пирамиды:
Треугольник SCB — равнобедренный с основанием CB. В треугольнике SAB 
Найдем площадь треугольника SAB: 
В треугольнике SBC 
BC = 2. Отрезки BH и BC перпендикулярны. По теореме Пифагора: 
Найдем площадь треугольника SBC:
по теореме о сумме углов треугольника 
то есть APC — треугольник прямоугольный.
то длина бокового ребра пирамиды равна 
12 см. PH — высота и медиана прямоугольного равнобедренного треугольника, тогда 
см2.
значит, AC = 8 см. 
Она же является высотой пирамиды.
значит, 
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
так как это отношение и есть тангенс двугранного угла при ребре основания пирамиды. Пусть PH = 4x, а HM = 3x, тогда по теореме Пифагора в треугольнике PMH имеем: 
Откуда получаем, что x = 1, то есть PH = 4, а HM = 3. Отрезок AD в два раза больше отрезка HM, значит, что AD = 6, а площадь квадрата ABCD равна 36. Найдём площадь полной поверхности:
тогда 
и 
так как основание пирамиды — вписанный в окружность квадрат. В прямоугольном треугольнике 
по теореме Пифагора:
то есть, грани пирамиды — правильные треугольники. Пусть точка M — середина ребра PD, откуда 
и 
равен углу между боковыми гранями пирамиды. По теореме косинусов в треугольнике AMC:
откуда 
В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, так, что одно основание цилиндра лежит на основании пирамиды, а другое основание цилиндра касается боковых граней пирамиды. Найдите объем цилиндра, если высота пирамиды равна 
см, а сторона основания пирамиды равна 
см.
Пусть его сторона равна 
Рассмотрим треугольники PTM и PNF. В них 
— общий, а 
как соответственные углы при параллельных прямых NF и TM (PT — секущая). Тогда эти треугольники подобны до двум углам, следовательно:
В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, так, что одно основание цилиндра лежит на основании пирамиды, а другое основание цилиндра касается боковых граней пирамиды. Найдите объем цилиндра, если высота пирамиды равна 
см, а сторона основания пирамиды равна 
см.
а значит, 
По теореме Пифагора 
Точка пересечения диагоналей основания правильной четырехугольной пирамиды делит отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром описанной около пирамиды сферы, в отношении 5 : 3, считая от вершины. Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.
а значит, 
По теореме Пифагора 
см3.
см3.
раз больше стороны основания
В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, центр которой делит высоту пирамиды в отношении 5 : 3, считая от вершины. Найдите площадь сферы, если сторона основания пирамиды равна 18.
Прямоугольные треугольники STH и SMO имеют общий острый угол и потому подобны, откуда
то есть 
и площадь ее 
поскольку это и есть угол при ребре основания, а сечением сферы станет вписанная в этот треугольник окружность того же радиуса, что и сфера.
Значит, площадь ее равна 
Тогда:
и 
Точка пересечения диагоналей основания правильной четырехугольной пирамиды делит отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром описанной около пирамиды сферы, в отношении 5 : 3, считая от вершины. Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.
и 
